极限固定公式

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摘要导语: 秘密研究社：**极限固定公式**极限固定公式是微积分中一个重要的定理，它阐明了当一个函数的极限存在时，在其左右极限也必须存在的规律。此公式被广泛应用于求解极限和证明函数连续性的问题中。**公式：**如果存在\(L=\lim_{x\toa}f(x)\)，那么：-\(\...

Author：库飞昂 Cate：帝王 Date：2024-09-30 02:54:02

极限固定公式详情介绍

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极限固定公式

极限固定公式是微积分中一个重要的定理，它阐明了当一个函数的极限存在时，在其左右极限也必须存在的规律。此公式被广泛应用于求解极限和证明函数连续性的问题中。

公式：

如果存在 \(L=\lim_{x\to a}f(x)\)，那么：

- \(\lim_{x\to a^-}f(x)=L\)

- \(\lim_{x\to a^+}f(x)=L\)

应用：

一、左右极限与函数连续性

- 极限固定公式表明，如果一个函数的极限存在，则其左右极限也必存在且相等。

- 推论：若 \(f(a)\ne L\)，则 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 处不连续。

- 例子：函数 \(f(x)=|x|\) 在 \(x=0\) 处不连续，因为 \(\lim_{x\to 0}f(x)=0\ne f(0)=1\)。

二、夹逼定理

- 极限固定公式可用于证明夹逼定理，即当三个函数 \(f(x)\)、\(g(x)\)、\(h(x)\) 满足 \(g(x)\le f(x)\le h(x)\) 且 \(\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L\)，则 \(\lim_{x\to a}f(x)=L\)。

- 例子：求解 \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\)。注意到 \(\frac{-1}{x}\le \frac{\sin x}{x}\le \frac{1}{x}\) 且 \(\lim_{x\to 0}\frac{-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}=0\)，因此 \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=0\)。

三、无穷大等价

- 极限固定公式可用于证明无穷大等价，即当两个函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 满足 \(\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=\infty\)，则存在正实数 \(M\) 和 \(N\)，使得当 \(|x-a|

- 例子：证明 \(\frac{x^2}{2x+1}\sim \frac{x^2}{2x}\) (当 \(x\to \infty\))。令 \(f(x)=\frac{x^2}{2x+1}\) 和 \(g(x)=\frac{x^2}{2x}\)，则 \(\lim_{x\to \infty}f(x)=\lim_{x\to \infty}g(x)=\infty\)，且存在 \(M=1\) 和 \(N=1\)，使得当 \(x>1\) 时，有 \(\left|\frac{x^2}{2x+1}-\frac{x^2}{2x}\right|<1\)。

四、函数的单调性与极限

- 极限固定公式可用于确定函数的单调性与极限之间的关系。

- 例子：若 \(f'(x)>0\) (或 \(f'(x)<0\))，则 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 处严格单调递增 (或递减)。

- 例子：若 \(\lim_{x\to a}f'(x)=\infty\)，则 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 处存在局部极值。

总结

极限固定公式是微积分中一个基本且重要的定理，它提供了以下关键结论：

- 极限存在时，左右极限也必须存在且相等。

- 通过夹逼定理，可以推导出更多极限计算方法。

- 无穷大等价可用于比较无穷大函数的增长率。

- 函数的单调性与极限密切相关。

公式固定极限

极限固定公式

极限固定公式详情介绍

一、左右极限与函数连续性

二、夹逼定理

三、无穷大等价

四、函数的单调性与极限

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